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2012年 軍事交通學院 碩士研究生入學考試

自命題科目 復習提綱

601 高等數學

參考書為《微積分》（第二版）（上、下）， 同濟大學應用數學系主編，高等教育出版社出版。

（一）函數、極限、連續(xù)函數

本部分內容主要介紹函數的基本概念、研究函數變化性態(tài)的主要工具——極限理論、以及函數的連續(xù)性。采取課堂系統講授、課后練習并有針對性地組織習題課與課堂討論，使學員達到：

1. 了解集合的概念，集合的基本運算；知道“確界公理”；

2. 理解函數的概念，了解映射及反函數的概念；了解函數的基本特性，會證明函數的奇偶性；

3. 理解復合函數和初等函數的概念。會用函數關系描述一些簡單的實際問題；

4. 理解極限（包括左、右側極限）的概念，會用 — ， — 定義驗證簡單極限；

5. 理解和掌握極限四則運算法則；

6. 了解極限的性質（包括惟一性、有界性和保號性）和極限存在準則（單調有界準則和夾逼準則），掌握用兩個重要極限求極限；

7. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小與無窮大的關系，掌握有極限的量與無窮小量的關系，了解無窮小的階的概念，掌握無窮小的基本運算。掌握用等價無窮小代換求極限；

8. 理解函數連續(xù)的概念，會判斷間斷點的類型；

9. 了解初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，掌握應用這些性質特別是零點定理解決有關問題的方法。

（二）一元函數微分學

本部分內容主要研究一元函數微分學的相關概念、理論和方法。采取課堂系統講授，、課后練習并有針對性地組織習題課與課堂討論，使學員達到：

1. 理解導數和微分的概念，理解導數和微分的幾何意義及函數的可導性與連續(xù)性的關系；

2. 熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數求導法，掌握基本初等函數的導數公式及反函數的求導方法；

3. 了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性；

4. 了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數；

5. 掌握求分段函數、隱函數及參數式所確定的函數的導數的方法；

6. 會用導數概念解決一些簡單的實際問題；

7. 理解羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理，了解柯西（Cauchy）中值定理和泰勒（Taylor）中值定理，掌握中值定理的應用，會用泰勒公式近似表示函數；

8. 熟練掌握用洛必達（L’Hospital）法則求未定式極限的方法；

9. 理解函數極值的概念，掌握用導數判斷函數增減性和求極值的方法。掌握判斷函數的凹凸性的方法，會求拐點和曲線的漸進線；

10. 會利用導數證明一些不等式；

11．掌握較簡單應用問題的最大（小）值的求法；

12. 了解弧微分、曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

（三）一元函數積分學及其應用

本部分內容主要研究一元函數積分學的相關概念、理論和方法。采取課堂系統講授，、課后練習并有針對性地組織習題課與課堂討論，使學員達到：

1. 理解不定積分的概念及其性質；

2. 熟記并掌握不定積分的基本公式；

3. 熟練掌握換元積分和分部積分積分法；

4. 會求簡單有理函數和三角有理式的積分；

5. 理解定積分的概念及性質；

6. 理解積分上限的函數及其求導方法，熟練掌握牛頓（Newton）—萊布尼茨（Leibniz）公式，理解微分與積分的關系；

7. 掌握定積分的換元法和分部積分法；

8. 了解反常積分的概念，會求簡單的反常積分；

9. 理解和掌握定積分的微元法，掌握用微元法計算一些幾何量（面積、體積、弧長）、物理量（功、引力、水壓力）和其他一些簡單實際問題的方法。

（四）常微分方程

本部分內容主要介紹微分方程的基本概念，介紹幾種簡單微分方程的解法。采取課堂系統講授，課后練習并有針對性地組織習題課與課堂討論，使學員達到：

1. 了解微分方程的定義、解、通解、初始條件和特解等概念；

2. 掌握可分離變量的方程和一階線性方程的解法；

3. 會解齊次方程和伯努利（Bernoulli）方程與歐拉方程及用變量代換求解簡單的一階方程；

4. 掌握降階法求方程 和 的解的方法；

5. 理解高階線性微分方程解的結構定理；

6. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，會解高階常系數齊次線性方程；

7. 會求自由項為 、 的二階常系數非齊次線性方程的特解；

8. 了解數學建模初步原理, 能利用導數的幾何、物理意義及微元法建立一些簡單問題的微分方程。

（五）無窮級數

本部分內容介紹無窮級數的相關概念、理論和基本方法。采取課堂系統講授，課后練習并有針對性地組織習題課與課堂討論，使學員達到：

1. 理解無窮級數收斂、發(fā)散及其和的概念，了解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件；

2. 理解幾何級數和p- 級數的斂散性；

3. 熟練掌握正項級數的比較審斂法和比值審斂法；

4. 了解交錯級數的萊布尼茨定理；

5. 理解無窮級數的絕對收斂、條件收斂的概念；

6. 理解函數項級數的收斂域及和函數的概念；

7. 熟練掌握冪級數收斂區(qū)間的求法，了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質。掌握求簡單冪級數的和函數的方法；

8. 知道函數展開為泰勒級數的充要條件；

9. 掌握 、 、 、 和 的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會利用這些展開式將一些簡單函數展開為冪級數；

10. 會用冪級數進行一些近似計算；

11. 了解函數展開為傅里葉（Fourier）級數的狄里克雷（Dirichlet）條件，會將定義在 和 上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在 上的函數展開為正弦級數和余弦級數；

12. 說出了解傅氏級數的復數形式。